Question

9．已知函數(shù)f（x）=alnx-2x²，a為正常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＜2x²-x在（1，+∞）恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-4x=$\frac{a-{4x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{a}}{2}$）遞增，在（$\frac{\sqrt{a}}{2}$，+∞）遞減；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，
即若對(duì)任意x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有f′（x）=$\frac{a}{x}$-2x＜-1，
∴a＜2x²-x在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x²-x=2${（x-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{1}{8}$，
∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考察函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．