Question

15．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是A₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ACE⊥平面BDD₁B₁
（Ⅱ）求證：AE∥平面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)證明AC⊥平面BDD₁B₁，即可證明平面ACE⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）通過(guò)證明OF∥AE，即可證明AE∥平面BDF．

解答 解：（Ⅰ）證明：
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB₁⊥AC，
且BD∩BB₁=B，BD?平面BDD₁B₁，BB₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）證明：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連接OF，
則OA=OC，
又F是CE的中點(diǎn)，
∴EF=CF，
∴OF∥AE，
又OF?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間思維能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．