Question

19．已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=alnx+x²-4x．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=（a-2）x，若?x∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值，問題得以解決．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx+x²-4x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-4，
∴k=f′（1）=1+2-4=-1，
f（1）=ln1+1-4=-3，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y+3=-（x-1），即x+y+2=0，
（2）∵g（x）=（a-2）x，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x）≥g（x）成立，
∴alnx+x²-4x≥（a-2）x，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
∴a（x-lnx）≤x²-2x，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
設(shè)h（x）=x-lnx，
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
當$\frac{1}{e}$≤x＜1時，h（x）單調(diào)遞減，當1≤x≤e時，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=1＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，?x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
∴F′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（{x}^{2}-2x）（1-\frac{1}{x}）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴-1≤lnx≤1，
∴x-2lnx+2=x-lnx+2-lnx＞0，
當F′（x）＞0時，即1＜x≤e時，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，
當F′（x）＜0時，即$\frac{1}{e}$≤x≤1時，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，
∴F（x）_min=F（1）=-1，
∴a≤-1，
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬中檔題