Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx-x，其中a≠0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）與f（x₂）互為相反數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論①當(dāng)a＜0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性找到函數(shù)的最值，從而求出a的值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-1=$\frac{a-x}{x}$，x＞0，
當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)?x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以 f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=a，
因?yàn)?nbsp;x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
所以 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，+∞）．
（2）用f（x）_max，f（x）_min分別表示函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，
當(dāng)a≤1且a≠0時(shí)，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_max=f（1）=-1，
因?yàn)?nbsp;對(duì)任意的x₁∈[1，e]，x₂∈[1，e]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（1）=-2，
所以對(duì)任意的x₁∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=0；
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函數(shù)，在[a，e]上，f（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_max=f（a）=alna-a；
因?yàn)?nbsp;對(duì)x₁=1，?x₂∈[1，e]，f（1）+f（x₂）≤f（1）+f（a）=-1+alna-a=a（lna-1）-1＜0，
所以 對(duì)x₁=1∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=0；
當(dāng)a≥e時(shí)，令g（x）=-f（x）（x∈[1，e]），
由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函數(shù)，進(jìn)而知g（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_min=f（1）=-1，f（x）_max=f（e）=a-e，g（x）_max=g（1）=-f（1）=1，g（x）_min=g（e）=-f（e）=e-a；
因?yàn)?nbsp;對(duì)任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=0，即f（x₁）=-g（x₂），
所以  $\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥g（e）}\\{f（e）≤g（1）}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）+f（e）≥0}\\{f（e）+f（1）≤0}\end{array}\right.$，
所以 f（1）+f（e）=a-e-1=0，解得a=e+1，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為e+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道難題．