Question

6．下列各式：
（1）lg$\frac{5}{2}$+2lg2-（$\frac{1}{2}$）^-1=-1；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$是奇函數(shù)且在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（3）已知函數(shù)f（x）=x²+（2-m）x+m²+12為偶函數(shù)，則m的值是2；
（4）若f（x）是冪函數(shù)，且滿足$\frac{f（4）}{f（2）}$=3，則f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{3}$．
其中正確的有（1）（2）（3）（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．
（3）根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．
（4）根據(jù)冪函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）lg$\frac{5}{2}$+2lg2-（$\frac{1}{2}$）^-1=lg（$\frac{5}{2}$×4）-2=lg10-2=1-2=-1；故（1）正確，
（2）f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$e^x-$\frac{1}{2}$e^-x為增函數(shù)，故（2）正確；
（3）若f（x）=x²+（2-m）x+m²+12為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即x²+（2-m）x+m²+12=x²-（2-m）x+m²+12，即2-m=-（2-m），得m=2，故（3）正確；
（4）若f（x）是冪函數(shù)，設(shè)f（x）=x^α，若滿足$\frac{f（4）}{f（2）}$=3，
則$\frac{{4}^{α}}{{2}^{α}}$=2^α=3，則f（$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}）^{α}=\frac{1}{{2}^{α}}=\frac{1}{3}$．故（4）錯誤，
故正確的命題是（1）（2）（3），
故答案為：（1）（2）（3）

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度不大．