Question

20．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinax}{\sqrt{1-cosx}}，-π＜x＜0}\\{b，x=0}\\{\frac{1}{x}（lnx-ln（{x}^{2}+x），x＞0}\end{array}\right.$連續(xù)，求a，b．

Answer 1

分析 問題等價為：$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=f（0）=b，再直接求函數(shù)在x=0處的左右極限即可．

解答 解：根據(jù)題意，$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=f（0）=b，
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{lnx-ln（x^2+x）}{x}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（$\frac{1}{x}-\frac{2x+1}{x^2+x}$）
=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{-1}{x+1}$=-1，
因此，b=-1，
又有$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{sinax}{\sqrt{1-cosx}}$=-$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{sinax}{\sqrt{2}sin\frac{x}{2}}$
=-$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$（$\frac{sinax}{ax}$•$\frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$•$\sqrt{2}a$）=-$\sqrt{2}a$，
所以，-$\sqrt{2}a$=-1，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=-1．

點評 本題主要考查了函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用，涉及函數(shù)的左右極限，并考查了運用羅必塔法則求極限，屬于中檔題．