Question

13．已知命題p：$?x∈[\frac{1}{2}，2]，{x^2}-2x+2-a≥0$，命題q：?x∈R，x²-2ax+2-a=0，若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2]∪{1}
• B． （-∞，-2]∪[1，2]
• C． [1，+∞）
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 命題p：$?x∈[\frac{1}{2}，2]，{x^2}-2x+2-a≥0$，可得a≤[（x-1）²+1]_min．命題q：?x∈R，x²-2ax+2-a=0，可得△≥0．由于命題“p∧q”是真命題，可得p與q都是真命題．

解答 解：命題p：$?x∈[\frac{1}{2}，2]，{x^2}-2x+2-a≥0$，∴a≤[（x-1）²+1]_min=1．
命題q：?x∈R，x²-2ax+2-a=0，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≥1或a≤-2．
∵命題“p∧q”是真命題，∴p與q都是真命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥1或a≤-2}\end{array}\right.$，解得a=1或a≤-2．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪{1}．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．