Question

3．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）展開兩角和的正弦，再用降冪公式及輔助角公式化簡，周期可求，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）直接由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1=2cosx（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+co{s}^{2}x+1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$．
∴T=π，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴當(dāng)k=0和k=1時，得到函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}]$；
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，得$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴函數(shù)的值域為$[{1，\frac{5}{2}}]$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角恒等變換及其應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡求值，是中檔題．