Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a+blnx}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y=2．
（1）求a，b的值；
（2）對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任一個實數(shù)x，f（x）＜$\frac{m}{{{x^2}+x}}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b的值；
（2）由題意可得2x-xlnx＜m，令g（x）=2x-xlnx，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，求得極大值和最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{a+blnx}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{\frac{x}（x+1）-（a+blnx）}{（x+1）^{2}}$，
∵點(diǎn)（1，f（1））在直線x+y=2上，
∴f（1）=1，
∵直線x+y=2的斜率為-1，∴f′（1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=1}\\{\frac{2b-a}{4}=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$；          
（2）由（Ⅰ）得f（x）=$\frac{2-lnx}{x+1}$（x＞0），
由f（x）＜$\frac{m}{x+{x}^{2}}$及x＞0，可得2x-xlnx＜m，
令g（x）=2x-xlnx，∴g'（x）=1-lnx，
∴g′（x）＜0，x∈（e，+∞）；g′（x）＞0，x∈（0，e），
∴g（x）在（0，e）是增函數(shù)，在（e，+∞）是減函數(shù)，
故g（x）_max=g（e）=e，
要使f（x）＜$\frac{m}{x+{x}^{2}}$成立，只需m＞e，
故m的取值范圍是（e，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于中檔題．