Question

19．已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求x²+y²的最大值和最小值；
（3）若b=x+y，求b的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓，設(shè)$\frac{y}{x}$=k，進(jìn)而根據(jù)圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值；
（2）x²+y²是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連接OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長交圓于C′，進(jìn)而可知x²+y²的最大值和最小值分別為|OC′|和|OB|，答案可得；
（3）若b=x+y，則直線y=-x+b與圓（x-2）²+y²=3有公共點(diǎn)，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得b的最大值和最小值．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓．
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=3．
∴${\frac{y}{x}}_{max}=\sqrt{3}$，${\frac{y}{x}}_{min}=-\sqrt{3}$；
（2）x²+y²是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連接OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長交圓于C′，可知B到原點(diǎn)的距離最近，點(diǎn)C′到原點(diǎn)的距離最大，
此時(shí)有OB=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2-$\sqrt{3}$，OC′=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$2+\sqrt{3}$，
則（x²+y²）_max=|OC′|²=7+4$\sqrt{3}$，（x²+y²）_min=|OB|²=7-4$\sqrt{3}$；
（3）若b=x+y，則直線y=-x+b與圓（x-2）²+y²=3有公共點(diǎn)，
∴由點(diǎn)到直線的距離公式，得$\frac{|-2+b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，即b=$2±\sqrt{6}$，
故$_{max}=2+\sqrt{6}$，b_min=2-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程的應(yīng)用，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并會(huì)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)與半徑是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．