Question

9．函數(shù)f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0），若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x．
（1）求a的值；
（2）已知x≥0時，求使f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$+M恒成立的實數(shù)M的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=0時的導(dǎo)數(shù)等于2，求得a的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x-$\frac{2{x}^{3}}{3}$，求其導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在[0，1）上的符號，得到原函數(shù)在[0，1）上的單調(diào)性，由此可得使不等式恒成立的實數(shù)M的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0），
得f′（x）=$\frac{1}{a+x}$+$\frac{1}{a-x}$，
∴在點（0，f（0））處的切線斜率為f′（0）=$\frac{2}{a}$，
∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x，
∴f′（0）=2，
即$\frac{2}{a}$=2，解得a=1；
（2）令g（x）=f（x）-2x-$\frac{2{x}^{3}}{3}$=ln（1+x）-ln（1-x）
則g′（x）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1-x}$-2-2x²=$\frac{2{x}^{4}}{1-{x}^{2}}$≥0在[0，1）恒成立，
即有函數(shù)g（x）在[0，1）上為增函數(shù)，
則g（x）≥g（0）=0，即g（x）的最小值為0，
由題意可得M≤g（x）的最小值，可得M的范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．