Question

20．已知命題p：函數(shù)$f（x）={x^3}+a{x^2}+（a+\frac{4}{3}）x+6$在（-∞，+∞）上有極值；命題q：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個相異實根均大于3．若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：f′（x）=3x²+2ax+a+$\frac{4}{3}$，由于函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值，可得f′（x）=0有兩個不等實數(shù)根，△＞0，解得a范圍．
命題q：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個相異實根均大于3．令f（x）=x²-3ax+2a²+1，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=2{a}^{2}-9a+10＞0}\\{△=9{a}^{2}-4（2{a}^{2}+1）＞0}\end{array}\right.$，且$\frac{3a}{2}$＞0，解得范圍．若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則p與q必然一真一假．

解答 解：命題p：函數(shù)$f（x）={x^3}+a{x^2}+（a+\frac{4}{3}）x+6$，f′（x）=3x²+2ax+a+$\frac{4}{3}$，
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值，
∴f′（x）=0有兩個不等實數(shù)根，∴△=4a²-4×3（a+$\frac{4}{3}$）=4a²-4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜-1．
命題q：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個相異實根均大于3．令f（x）=x²-3ax+2a²+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=2{a}^{2}-9a+10＞0}\\{△=9{a}^{2}-4（2{a}^{2}+1）＞0}\end{array}\right.$，且$\frac{3a}{2}$＞3，解得$a＞\frac{5}{2}$．
若p∨q是真命題，p∧q是假命題，
則p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞4或a＜-1}\\{a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤4}\\{a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
解得$\frac{5}{2}＜a≤4$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$\frac{5}{2}＜a≤4$．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．