Question

1．2004 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣．2015 年12 月10 日，我國科學家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎．目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速．
某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗田中分別種植了100 株青蒿進行對比試驗．現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如表所示：

編號 位置	①	②	③	④
山上	5.0	3.8	3.6	3.6
山下	3.6	4.4	4.4	3.6

（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量；
（Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為$s_1^2$，$s_2^2$，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計$s_1^2$與$s_2^2$的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）；
（Ⅲ）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1 株，記這2 株的產(chǎn)量總和為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （I）由山下試驗田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，能求出樣本平均數(shù)和山下試驗田100株青蒿的青蒿素產(chǎn)量S估算值．
（Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差$s_1^2$和$s_2^2$，能求出結(jié)果．
（Ⅲ）依題意，隨機變量ξ可以取7.2，7.4，8，8.2，8.6，9.4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列、期望．

解答 解：（I）由山下試驗田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，
得樣本平均數(shù)$\overline x=\frac{3.6+4.4+4.4+3.6}{4}=4$…（2分）
則山下試驗田100株青蒿的青蒿素產(chǎn)量S估算為$S=100\overline x=400$g． …（3分）
（Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差$s_1^2$和$s_2^2$，結(jié)果為$s_1^2＞$$s_2^2$．…（6分）
（Ⅲ）依題意，隨機變量ξ可以取7.2，7.4，8，8.2，8.6，9.4，…（7分）
$P（ξ=7.2）=\frac{1}{4}$，
$P（ξ=7.4）=\frac{1}{8}$，
$P（ξ=8）=\frac{1}{4}$，
$P（ξ=8.2）=\frac{1}{8}$，
$P（ξ=8.6）=\frac{1}{8}$，
$P（ξ=9.4）=\frac{1}{8}$，…（9分）
隨機變量ξ的分布列為：

ξ	7.2	7.4	8	8.2	8.6	9.4
p	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

…（11分）
隨機變量ξ的期望$E（ξ）=7.2×\frac{1}{4}+7.4×\frac{1}{8}+8×\frac{1}{4}+8.2×\frac{1}{8}+8.6×\frac{1}{8}+9.4×\frac{1}{8}=8$．…（13分）

點評 本題考查平均數(shù)、方差的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題之一．