Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）解不等式f（1-x²）＞f（2x）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性便可得出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞）；
（2）根據(jù)f（x）的解析式可討論x：①$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{2x≥0}\end{array}\right.$，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，從而有1-x²＞2x，這樣便可得到$0≤x＜-1+\sqrt{2}$，②$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＞0}\\{2x＜0}\end{array}\right.$，這種情況滿足f（1-x²）＞f（2x），從而便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）x≥0時，f（x）=x²+1單調(diào)遞增；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞）；
（2）①若$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{2x≥0}\end{array}\right.$，即0≤x≤1，則1-x²＞2x；
解得$-1-\sqrt{2}＜x＜-1+\sqrt{2}$；
∴$0≤x＜-1+\sqrt{2}$；
②若$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＞0}\\{2x＜0}\end{array}\right.$，即-1＜x＜0，滿足f（1-x²）＞f（2x）；
∴綜上得原不等式的解集為$（-1，-1+\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評 考查二次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．