Question

18．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且BE⊥PC于E，PA=a，$BE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，點F在線段AB上，并有EF∥平面PAD．則$\frac{BF}{FA}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 在平面PCD內(nèi)，過E作EG∥CD交PD于G，連接AG，在AB上取點F，使AF=EG，則F即為所求作的點．由此能求出結(jié)果．

解答 解：在平面PCD內(nèi)，過E作EG∥CD交PD于G，連接AG，
在AB上取點F，使AF=EG，則F即為所求作的點．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四邊形FEGA為平行四邊形，∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，F(xiàn)E?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=$\frac{{a}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\sqrt{3}$a．又$\frac{EG}{CD}$=$\frac{PE}{PC}$，∴EG=$\frac{PE}{PC}$•CD=$\frac{2}{3}$a，
∴AF=EG=$\frac{2}{3}$a．∴點F為AB的一個三等分點．
∴$\frac{BF}{FA}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查空間中兩條線段比值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．