Question

6．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，則不等式f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）的解集為（-∞，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性，討論變量的取值范圍進(jìn)行比較即可．

解答 解：若$\frac{1}{2}$x≥1，即x≥2時(shí)，x²-3≥1，此時(shí)函數(shù)f（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，
則由f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）得x²-3＜$\frac{1}{2}$x，即2x²-x-6＜0，得-$\frac{3}{2}$＜x＜2，此時(shí)x無(wú)解．
若$\frac{1}{2}$x＜1，即x＜2時(shí)，
若x²-3＜1，即-2＜x＜2，時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)，
則由f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）得x²-3＞$\frac{1}{2}$x，即2x²-x-6＞0，得x＜-$\frac{3}{2}$或x＞2（舍），此時(shí)-2＜x＜-$\frac{3}{2}$．
若x≤-2，則$\frac{1}{2}$x≤-1，此時(shí)f（$\frac{1}{2}$x）＜0，
而x²-3≥1，則f（x²-3）＞0，此時(shí)不等式f（x²-3）＞f（$\frac{1}{2}$x）恒成立，
綜上不等式的解集為（-∞，-$\frac{3}{2}$），
故答案為：（-∞，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．