Question

1．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b且f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$．
（1）求a，b的值：
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性：
（3）判斯并證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性，并求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）列方程組解出，（2）求出f（-x），判斷與f（x）的關(guān)系，（3）求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值．

解答 解：（1）∵f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2+{2}^{a+b}=\frac{5}{2}}\\{{2}^{2}+{2}^{2a+b}=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定義域為R．f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（3）f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）．
∵x≥0，∴2^x≥1，∴2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$≥0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．f_min（x）=f（0）=2，
∴f（x）的值域是[0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．