Question

4．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，則$\frac{1}{3x+4y}$+$\frac{1}{x+3y}$的最小值為$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由基本事等式得2xy≤$\frac{1}{4}$，又$\frac{1}{3x+4y}$+$\frac{1}{x+3y}$=$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$，由此能求出$\frac{1}{3x+4y}$+$\frac{1}{x+3y}$的最小值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+2y=1，
∴2xy≤（$\frac{x+2y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴xy≤$\frac{1}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$時取等號，
∴$\frac{1}{3x+4y}$+$\frac{1}{x+3y}$=$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$
＞$2\sqrt{\frac{1}{x+2}•\frac{1}{y+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{xy+3}}$
＞$\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{8}+3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$時，$\frac{1}{3x+4y}$+$\frac{1}{x+3y}$取最小值$\frac{6}{5}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意均值不等式的合理運(yùn)用，易錯點是容易忽視等號成立的條件．