Question

4．設(shè)a為常數(shù)，記函數(shù)$f（x）=k{（\frac{x-1}{x+1}）^2}$，x＞1的反函數(shù)為f^-1（x）．已知y=f^-1（x）的圖象經(jīng)過點$（\frac{1}{4}，3）$．
（Ⅰ）求實數(shù)k的值和反函數(shù)f^-1（x）的解析式；
（Ⅱ）定義函數(shù)$F（x）={log_c}[{f^{-1}}（x）]-{log_c}\frac{{c-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}$，其中常數(shù)c＞0且c≠1，求函數(shù)F（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由y=f^-1（x）的圖象經(jīng)過點$（\frac{1}{4}，3）$，得到關(guān)于k的等式，求出實數(shù)k的值，進(jìn)一步求得反函數(shù)f^-1（x）的解析式；
（Ⅱ）把f^-1（x）的解析式代入$F（x）={log_c}[{f^{-1}}（x）]-{log_c}\frac{{c-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}$，化簡整理后求出真數(shù)的范圍，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=k{（\frac{x-1}{x+1}）^2}$，且y=f^-1（x）的圖象經(jīng)過點$（\frac{1}{4}，3）$，
∴$k（\frac{3-1}{3+1}）^{2}=\frac{1}{4}$，解得k=1，
∴$y=f（x）=（\frac{x-1}{x+1}）^{2}$（x＞1），則$\frac{x-1}{x+1}=\sqrt{y}$，$x=\frac{1+\sqrt{y}}{1-\sqrt{y}}$．
∴${f}^{-1}（x）=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$（0＜x＜1）；
（Ⅱ）$F（x）={log_c}[{f^{-1}}（x）]-{log_c}\frac{{c-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}$=$lo{g}_{c}\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-lo{g}_{c}\frac{c-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$
=$lo{g}_{c}\frac{1+\sqrt{x}}{c-\sqrt{x}}$（0＜x＜1）．
要使該函數(shù)有意義，則c-$\sqrt{x}＞0$恒成立，
∵0＜x＜1，∴c＞1．
由t=$\frac{1+\sqrt{x}}{c-\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-c}=-\frac{\sqrt{x}-c+c+1}{\sqrt{x}-c}$=$-\frac{c+1}{\sqrt{x}-c}-1$，
∵0＜x＜1，∴0$＜\sqrt{x}＜1$，$-c＜\sqrt{x}-c＜1-c$，
∴$\frac{1}{1-c}＜\frac{1}{\sqrt{x}-c}＜\frac{1}{-c}$，$\frac{c+1}{c}＜\frac{1+\sqrt{x}}{c-\sqrt{x}}＜\frac{2}{c-1}$．
∴函數(shù)F（x）的值域為[$lo{g}_{c}\frac{c+1}{c}，lo{g}_{c}\frac{2}{c-1}$]．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)反函數(shù)的求法，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．