Question

2．以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)且與直線x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{19}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，求出離心率的平方，將直線方程代入橢圓方程得得到的關(guān)于x的一元二次方程的判別式大于0，求出 b² 的最小值，此時(shí)的離心率最大，離心率最大的橢圓方程可得．

解答 解：由題意知，c=1，a²-b²=1，故可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
離心率的平方為：$\frac{1}{^{2}+1}$   ①，
∵直線x-y+3=0與橢圓有公共點(diǎn)，將直線方程代入橢圓方程得
（2b²+1）x²+6（b²+1）x+8b²+9-b⁴=0，
由△=36（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（ 8b²+9-b⁴ ）≥0，
∴b⁴-3b²-4≥0，∴b²≥4，或 b²≤-1 （舍去），
∴b² 的最小值為4，
∴①的最大值為 $\frac{1}{5}$，此時(shí)，a²=b²+1=5，
∴離心率最大的橢圓方程是：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用直線和橢圓有交點(diǎn)可得判別式大于或等于0．求解b的最大值是解題的關(guān)鍵．