Question

3．設(shè)函數(shù)h_t（x）=3tx-2t²，若有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x₀，使得h₆（x₀）≥h_t（x₀）對(duì)任意的正數(shù)t都成立，則x₀=（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 式子整理為3tx₀-2t²-（18x₀-72），構(gòu)造函數(shù)g（t）=3tx₀-2t²-18x₀+72≤0恒成立，只需求出函數(shù)最大值，由題意知當(dāng)t=6時(shí)，函數(shù)
取最大值，可得：$\frac{3}{4}{x}_{0}$=6，求解即可．

解答 解：h_t（x₀）-h₆（x₀）
=3tx₀-2t²-（18x₀-72），
令g（t）=3tx₀-2t²-18x₀+72，
∵h(yuǎn)₆（x₀）≥h_t（x₀）對(duì)任意的正數(shù)t都成立，
∴g（t）=3tx₀-2t²-18x₀+72≤0恒成立，
∴g（$\frac{3}{4}{x}_{0}$）為g（t）的最大值，
由題意可得：$\frac{3}{4}{x}_{0}$=6，
∴x₀=8
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查了恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換和抽象函數(shù)的理解．應(yīng)讀懂題意．