Question

20．現(xiàn)有下列函數(shù)：①y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，②y=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），③y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|1+x|-x}$，④y=（x-1）$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$，⑤y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x＞0}\\{-{x}^{2}+1，x＜0}\end{array}\right.$其中奇函數(shù)為①②⑤，偶函數(shù)為③．

Answer 1

分析 先求出每個(gè)函數(shù)的定義域，然后從定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)中，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性．若滿足f（-x）-f（x）=0則是偶函數(shù)，若滿足f（-x）+f（x）=0，則為奇函數(shù)，若以上都不滿足，則為非奇非偶函數(shù)．

解答 解：對于①，定義域?yàn)镽，因?yàn)閒（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}+\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{（{2}^{-x}-1）（{2}^{x}+1）+（{2}^{x}-1）（{2}^{-x}+1）}{（{2}^{-x}+1）（{2}^{x}+1）}$=$\frac{{2}^{0}+{2}^{-x}-{2}^{x}-1+{2}^{0}+{2}^{x}-{2}^{-x}-1}{（{2}^{-x}+1）（{2}^{x}+1）}$=0，故該函數(shù)為奇函數(shù)；
對于②，顯然定義域?yàn)镽，f（-x）+f（x）=$lg（\sqrt{{（-x）}^{2}+1}-x）+lg（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=$lg（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=lg1=0，故該函數(shù)為奇函數(shù)；
對于③，要使原函數(shù)有定義，只需$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|1+x|-x≠0}\end{array}\right.$，解得x∈[-1，1]，關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)|1+x|-x=1+x-x=1，所以$f（x）=\sqrt{1-{x}^{2}}$，易知f（-x）=f（x），所以該函數(shù)為偶函數(shù)；
對于④，要使函數(shù)有意義，只需$\frac{x+1}{x-1}≥0$且x-1≠0，解得x≤-1或x＞1，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以該函數(shù)非奇非偶；
對于⑤，定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，所以此時(shí)f（x）=-x²+1，f（-x）=（-x）²-1=x²-1=-f（x）；同理可得當(dāng)x＞0時(shí)，也有f（-x）=-f（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)．
故答案為：①②⑤，③．

點(diǎn)評 本題考查了判斷函數(shù)奇偶性的方法，一般先求出函數(shù)的定義域，在關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷該函數(shù)的奇偶性．