Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左，右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△F₁AB面積的最大值為6，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 利用橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，化簡(jiǎn)方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出三角形的面積，換元、配方，結(jié)合△F₁AB的面積的最大值為6，即可求橢圓的方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴a=2c，
∴b=$\sqrt{3}$c，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
設(shè)直線l：x=my+c，代入橢圓方程可得（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$c，y₁y₂=-$\frac{9{c}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，
令4+3m²=t（t≥4），△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}$•2c•|y₁-y₂|=4$\sqrt{3}$c²•$\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴t=4時(shí)，S取得最大值c²，
∴c²=6，a²=24，b²=18，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{18}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了三角形面積最值的求法，在解決涉及到直線與圓錐曲線的關(guān)系的問(wèn)題中，常采用聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，此題是中高檔題．