Question

13．已知空間四邊形OABC，如圖所示，其對角線為OB，AC．M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$，現(xiàn)用基向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OG}$，并設(shè)$\overrightarrow{OG}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，則x+y+z=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 結(jié)合圖形，由M、N是OM、BC的中點，用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$，
從而得出$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{MG}$，即可得出$\overrightarrow{OG}$．

解答 解：如圖所示，
連接ON，∵M、N是OM、BC的中點，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$，
又∵$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$，
∴$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）；
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴x+y+z=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了空間向量的線性表示的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)類比平面向量的線性運算，是基礎(chǔ)題目．