Question

13．已知圓C：x²+y²=36和點(diǎn)P（m，2）．
（1）當(dāng)m=6時(shí)，過P作圓C的切線，求切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)，若過P的直線與圓C交于A，B，弦長AB的最小值記為I（m），求I（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓x²+y²=36的圓心為原點(diǎn)，半徑為6，然后討論，根據(jù)圓心到直線的距離等于半，6，建立關(guān)于k的方程，解之得k，進(jìn)而得到直線的方程．最后綜合可得答案．
（2）求出點(diǎn)O（0，0）到直線的距離的最大值，可得弦長AB的最小值記為I（m），即可求I（m）的最大值．

解答 解：（1）圓x²+y²=36的圓心為原點(diǎn)，半徑為6．
①當(dāng)過點(diǎn)（6，2）的直線垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線斜率不存在，方程是x=6，
因?yàn)閳A心O（0，0）到直線的距離為d=6=r，所以直線x=6符合題意；
②當(dāng)過點(diǎn)（6，2）的直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y-2=k（x-6）
即kx-y-6k+2=0
∵直線是圓x²+y²=36的切線
∴點(diǎn)O（0，0）到直線的距離為d=$\frac{|-6k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=6，解之得k=-$\frac{4}{3}$
此時(shí)直線方程為4x+3y-30=0，
∴切線方程為4x+3y-30=0或x=6．
（2）直線斜率不存在，方程是x=m，AB=2$\sqrt{36-{m}^{2}}$，
直線斜率存在，方程是y-2=k（x-m），即kx-y-mk+2=0
點(diǎn)O（0，0）到直線的距離為d=$\frac{|-mk+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∴（m²-d²）k²-4mk+4-d²=0，
∴△=16m²-4（m²-d²）（4-d²）≥0，
∴d²≤m²+4，
∴AB≥2$\sqrt{32-{m}^{2}}$，
綜上，弦長AB的最小值記為I（m）=2$\sqrt{32-{m}^{2}}$，I（m）的最大值為8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 借助于求過圓外一個(gè)定點(diǎn)的圓的切線方程的問題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．