Question

8．已知x＞0，a為大于2x的常數(shù)．
（1）求函數(shù)y=x（a-2x）的最大值；
（2）求y=$\frac{1}{a-2x}$-x的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a＞2x，可得函數(shù)y=x（a-2x）=2•2x（a-2x），運用基本不等式，即可得到最大值；
（2）y=$\frac{1}{a-2x}$-x=$\frac{1}{a-2x}$+$\frac{a-2x}{2}$-$\frac{1}{2}$a，由基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）函數(shù)y=x（a-2x）
=2•2x（a-2x）≤2•（$\frac{2x+a-2x}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=a-2x，即x=$\frac{a}{4}$時，函數(shù)的最大值為$\frac{1}{2}$a²；
（2）y=$\frac{1}{a-2x}$-x=$\frac{1}{a-2x}$+$\frac{a-2x}{2}$-$\frac{1}{2}$a
≥2$\sqrt{\frac{1}{a-2x}•\frac{a-2x}{2}}$-$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$a．
當(dāng)且僅當(dāng)a-2x=$\sqrt{2}$，即x=$\frac{1}{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取得最小值$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$a．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．