Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取最大值時x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，b+c=2，a=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角和與差的余弦和二倍角公式及三角函數(shù)恒等式先求出f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由此能求出f（x）的最大值及使f（x）取最大值時x的集合．
（Ⅱ）由題意，得cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，從而A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得1=b²+c²-bc≥bc，由此能求出△ABC的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x
=（cos2xcos$\frac{4π}{3}$+sinxsin$\frac{4π}{3}$）+（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1．…（3分）
∴f（x）的最大值為2．…（4分）
此時cos（2x+$\frac{π}{3}$）=1，2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，
故x的集合為{x|x=k$π-\frac{π}{6}$，k∈Z}．…（5分）
（Ⅱ）由題意，f（B+C）=cos[2（B+C）+$\frac{π}{3}$]+1=$\frac{3}{2}$，
即cos（2$π-2A+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
化簡得cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，（7分）
A∈（0，π），∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$），只有2A-$\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$…（8分）
在△ABC中，a=1，A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，
即1=b²+c²-bc≥bc，當且僅當b=c取等號，…（10分）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC的面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)化簡求值，考查三角形面積最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩角和與差的余弦和二倍角公式及三角函數(shù)恒等式、余弦定理的合理運用．