Question

15．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為$-\frac{1}{4}$，（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線交曲線C于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)|m|＞1時(shí)求|EF|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為$-\frac{1}{4}$，建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），與橢圓方程聯(lián)立，利用l與圓x²+y²=1相切，得$\frac{|km|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，表示出|EF|，利用基本不等式，即可求|EF|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$…2分
化簡(jiǎn)得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1，x≠±2$…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-m）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0…（8分）
設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$…（9分）
又由l與圓x²+y²=1相切，得$\frac{|km|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$即m²k²=k²+1
所以$|EF|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{64{k^4}{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}-\frac{{4（4{k^2}{m^2}-4）}}{{1+4{k^2}}}}=\frac{{4\sqrt{3}|m|}}{{{m^2}+3}}≤\frac{{4\sqrt{3}}}{{|m|+\frac{3}{|m|}}}≤2$…（11分）
且當(dāng)$m=±\sqrt{3}$時(shí)，|EF|=2，所以|EF|的最大值為2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求解，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理解題是關(guān)鍵．