Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面積ABCD為矩形，PA⊥平向ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB=AP=1，AD=$\sqrt{3}$，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，試求直線PC的一個(gè)法向量和平面PCD的一個(gè)法向量．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-BDP.$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），設(shè)直線PC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），利用$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{u}$=x+$\sqrt{3}$y-z=0，即可得出．$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{v}$=（x₁，y₁，z₁），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{v}=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{v}=0}\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-BDP．
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1）．
$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)直線PC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{u}$=x+$\sqrt{3}$y-z=0，
取$\overrightarrow{u}$=（$\sqrt{3}$，-1，0）．
$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{v}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{v}=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{v}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令z₁=$\sqrt{3}$，y₁=1，x₁=0，
∴$\overrightarrow{v}$=（0，1，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．