Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}，a₂=3，a₅=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=c${\;}^{{a}_{n}}$，其中c為常數(shù)，且c＞0，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列通項公式即可得出．
（2）對c分類討論，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）由已知$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=3\\{a_1}+4d=9\end{array}\right.$，（2分）
解得d=2，a₁=1，（4分）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．（6分）
（2）由（Ⅰ）知：b_n=c${\;}^{{a}_{n}}$=c^2n-1，（7分）
當(dāng)c=1時，b_n=1，∴S_n=n．（9分）
當(dāng) c≠1時，∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}={c^{{a_{n+1}}-{a_n}}}={c^2}$，
∴{b_n}是b₁=c，公比為c²的等比數(shù)列；  （11分）
∴${S_n}=\frac{{c（1-{c^{2n}}）}}{{1-{c^2}}}$．（13分）

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．