Question

15．已知一個(gè)正四面體紙盒的棱長(zhǎng)為$2\sqrt{6}$，若在該正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長(zhǎng)的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 在一個(gè)棱長(zhǎng)為$2\sqrt{6}$的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，說(shuō)明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，然后求出正方體的棱長(zhǎng)

解答 解：設(shè)球的半徑為：r，由正四面體的體積得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$2\sqrt{6}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$2\sqrt{6}$）²×$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-（\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}•2\sqrt{6}）^{2}}$，
所以r=1，
設(shè)正方體的最大棱長(zhǎng)為a，
∴3a²=2²，
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)接球的知識(shí)，球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力