Question

18．已知函數f（x）=x²-2（a-1）x+2，x∈[-5，5]．
（1）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數；
（2）求f（x）最小值．

Answer 1

分析 （1）通過配方可知函數y=f（x）的圖象是以x=a-1為對稱軸、開口向上的拋物線，進而可得結論；
（2）通過（1）、分對稱軸在區(qū)間[-5，5]的左側、中間、右側三種情況討論即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2（a-1）x+2
=[x-（a-1）]²+2-（a-1）²
=[x-（a-1）]²+1+2a-a²，
∴當a-1≤-5或a-1≥5即a≤-4或a≥6時y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數；
（2）通過（1）可知，當a≤-4時，y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（-5）=25+10a-10+2=10a+17；
當a≥6時，y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（5）=25-10a+10+2=-10a+37；
當-4＜a＜6時，y=f（x）在區(qū)間[-5，a-1）上單調遞減，在區(qū)間[a-1，5]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（a-1）=1+2a-a²；
綜上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{10a+17，}&{a≤-4}\\{1+2a-{a}^{2}，}&{-4＜a＜6}\\{-10a+37，}&{a≥6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數的性質，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．