Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：數(shù)列$\{\frac{b_n}{2^n}\}$為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）由（1）得，${b_{n+1}}-2{b_n}=8{a_n}=8•{2^{n-1}}={2^{n+2}}$，變形為$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{b_n}{2^n}=2$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 （1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{2^n}-1）-（{2^{n-1}}-1）={2^{n-1}}$，
∵a₁=1滿足上式，∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）證明：由（1）得，${b_{n+1}}-2{b_n}=8{a_n}=8•{2^{n-1}}={2^{n+2}}$，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{b_n}{2^n}=2$，又$\frac{b_1}{2}=\frac{2}{2}=1$，
∴$\{\frac{b_n}{2^n}\}$是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，
∴$\frac{b_n}{2^n}=1+2（n-1）=2n-1$，即${b_n}=（2n-1）{2^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．