Question

14．下列命題成立的是（　�。�

• A． ?x₀∈（0，$\frac{π}{4}$），使得sinx₀cosx₀=$\frac{1}{2}$
• B． ?x∈[0，$\frac{π}{4}$]，都有sinx+cosx＜$\sqrt{2}$
• C． ?x₀∈（$\frac{π}{2}$，π），使得sinx₀-cosx₀=1
• D． ?x∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，都有sin²x≤cos²x

Answer 1

分析 對(duì)四個(gè)選項(xiàng)，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于A，sinx₀cosx₀=$\frac{1}{2}$sin2x₀，∵x₀∈（0，$\frac{π}{4}$），∴2x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx₀cosx₀∈（0，$\frac{1}{2}$），故不正確；
對(duì)于B，由A，可得sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]，故不正確；
對(duì)于C，sinx₀-cosx₀=$\sqrt{2}$sin（x₀-$\frac{π}{4}$），∵x₀∈（$\frac{π}{2}$，π），∴x₀-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{4}$π），∴sinx₀-cosx₀∈（1，$\sqrt{2}$]，故不正確；
對(duì)于D，sin²x-cos²x=-cos2x，∵x∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴2x∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]，∴sin²x-cos²x=-cos2x≤0，
∴sin²x≤cos²x，正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查特稱命題、存在性命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．