Question

19．已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1．
（1）當a≠0時，解關于x的不等式f（x）≤3a²+1；
（2）若命題“存在x₀∈A，使得f（x₀）≤A”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，即可解關于x的不等式f（x）≤3a²+1；
（2）命題“存在x₀∈A，使得f（x₀）≤0”的否定為：“對任意的x∈[1，2]，均有x²-2ax+1＞0成立”為真命題．

解答 解：（1）不等式f（x）≤3a²+1整理得x²-2ax-3a²≤0，即（x+a）（x-3a）≤0，
若a＞0，則解集為[-a，3a]，…（2分）
若a＜0，則解集為[-3a，a]．…（4分）
（2）A={x|1≤x≤2}，
命題“存在x₀∈A，使得f（x₀）≤0”的否定為：
“對任意的x∈[1，2]，均有x²-2ax+1＞0成立”為真命題，…（6分）
即$2a＜\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，只需$2a＜{（x+\frac{1}{x}）_{min}}$，…（8分）
當x=1時，${（x+\frac{1}{x}）_{min}}=2$，所以2a＜2，即a＜1．…（10分）

點評 本題考查特稱命題，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．