Question

6．隨著有車族人數(shù)的增加，越來越多的人都在關(guān)注汽油價(jià)格的信息，某機(jī)構(gòu)調(diào)查市民獲取有關(guān)汽車價(jià)格的信息渠道得到如下數(shù)據(jù)，按照信息來里利用分成抽樣的方法抽取50人，其中獲取信息的渠道為看電視的有27人．

獲取消息渠道	看電視	收聽廣播	其它渠道
男性	480	m	180
女性	384	210	90

（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）從“其它渠道”中按性別比例抽取一個(gè)容量為6的樣本，再從這6人中抽取3人，求抽取的3人中至少1人是女性的概率；
（Ⅲ）現(xiàn)從（Ⅱ）中確定的樣本中每次都抽取1人，直到抽出所有女性為止，設(shè)所要抽取的人為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用分層抽樣每一層所占的比例數(shù)相等求m的值；
（Ⅱ）求出6人中男女性的人數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求得抽取的3人中至少1人是女性的概率；
（Ⅲ）求出所要抽取的人數(shù)X，再利用古典概型概率計(jì)算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）由圖表結(jié)合已知可得：$\frac{50}{1344+m}=\frac{27}{864}$，解得m=256；
（Ⅱ）從其它渠道獲取信息的男女比例為180：90=2：1，從中抽取一個(gè)容量為6的樣本，
則男性抽取4人，女性抽取2人，從這6人中抽取3人，抽取的3人中至少1人是女性的概率為：
P=1-$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$；
（Ⅲ）所要抽取的人數(shù)X的值為2，3，4，5，6．
則P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\frac{1}{15}$，P（X=3）=$\frac{2{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}{A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{4}}=\frac{1}{5}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{5}}=\frac{4}{15}$，P（X=6）=$\frac{1}{3}$．
因此X的分布列為：

X	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{3}$

∴E（X）=$2×\frac{1}{15}+3×\frac{2}{15}+4×\frac{1}{5}+5×\frac{4}{15}+6×\frac{1}{3}$=$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分層抽樣方法，考查了隨機(jī)變量的分布列及其期望，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，是中檔題．