Question

17．在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：ρ²+2ρsinθ+$\frac{3}{4}$=0（ρ∈R），l為過定點(diǎn)（2，-1）且與直線θ=$\frac{π}{4}$平行的直線，A、B分別為曲線C和直線l上的動點(diǎn)．
（1）將曲線C和直線l分別化為直角坐標(biāo)系下的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程，利用相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式即可得出直線l的方程；
（2）求出圓心到直線l的距離d，可得|AB|的最小值為d-r．

解答 解：（1）曲線C：ρ²+2ρsinθ+$\frac{3}{4}$=0（ρ∈R），
∴${x}^{2}+{y}^{2}+2y+\frac{3}{4}$=0，化為${x}^{2}+（y+1）^{2}=\frac{1}{4}$；
l為過定點(diǎn)（2，-1）且與直線θ=$\frac{π}{4}$平行的直線，
∴直線l的方程為：y+1=$tan\frac{π}{4}（x-2）$，化為x-y-3=0．
（2）圓心C（0，-1）到直線l的距離d=$\frac{|0+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|的最小值=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．