Question

18．已知a≥-2，函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{sinx+2}$（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）：
（Ⅰ）若a=π，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2+sinx-（x-a）cosx，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=π，則$f（x）=\frac{x-π}{sinx+2}（x∈[0，\frac{π}{2}]）$，
$f'（x）=\frac{2+sinx-（x-π）cosx}{{{{（sinx+2）}^2}}}$，
令g（x）=2+sinx-（x-π）cosx，g'（x）=（x-π）sinx＜0，
所以g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$單調(diào)遞減，且有$g（\frac{π}{2}）=3＞0$，
所以f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{2+sinx-（x-a）cosx}{{{{（sinx+2）}^2}}}$，
令h（x）=2+sinx-（x-a）cosx，h'（x）=（x-a）sinx，
1）當(dāng)$a∈（0，\frac{π}{2}）$，x=a是函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
∵g（a）=2+sina＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增，${f_{max}}=f（\frac{π}{2}）=\frac{{\frac{π}{2}-a}}{3}$；
2）當(dāng)$a∈[\frac{π}{2}，+∞）$，h'（x）＜0，
函數(shù)h（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上遞減，$h（\frac{π}{2}）=3＞0$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增，
當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{6}-\frac{a}{3}$；
3）當(dāng)a∈[-2，0]時(shí)h'（x）＞0，h（0）=2+a，h（0）≥0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上遞增，
當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{6}-\frac{a}{3}$；
綜上所述，當(dāng)a≥-2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{6}-\frac{a}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．