Question

17．函數(shù)y=f（x）的定義域D={x|x∈R，且x≠0}，對定義域D內(nèi)任意兩個實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并證明y=f（x）為偶函數(shù)；
（2）若f（-4）=4，記 a_n=（-1）ⁿ•f（2ⁿ）（n∈N，n≥1），求數(shù)列{a_n}的前2015項的和S₂₀₁₅；
（3）（理） 若x＞1時，f（x）＜0，且不等式$f（\sqrt{{x^2}+{y^2}}）≤f（\sqrt{xy}）+f（a）$對任意正實數(shù)x，y恒成立，求非零實數(shù)a的取值范圍．
（文）若x＞1時，f（x）＜0，解關(guān)于x的不等式 f（x-3）≥0．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法求f（-1）的值，利用偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）先根據(jù)f（n）求數(shù)列{a_n}的通項，進而可求數(shù)列{a_n}的前2015項的和S₂₀₁₅；
 （3）先說明f（x）＞0，（0＜x＜1），利用基本不等式求出即可，（文）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即f（x-3）≥0，可有0＜|x-3|≤1，從而可解不等式．

解答 解：（1）賦值得f（1）=f（-1）=0，
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函數(shù)為偶函數(shù)；          
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2ⁿ）=f（2^n-1）+f（2），
∴f（2ⁿ）=2n，
∴a_n=2•（-1）ⁿn，
∴S₂₀₁₅=-2016；
（3）設(shè) $0＜x＜1，則\frac{1}{x}＞1$，
$0=f（1）=f（x）+f（\frac{1}{x}）$，
得f（x）＞0（0＜x＜1），
（理）$f（\sqrt{{x^2}+{y^2}}）≤f（\sqrt{xy}）+f（a）$，
得：$f（\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{a\sqrt{xy}}}）≤0$?$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{|a|\sqrt{xy}}}≥1$$|a|≤\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{xy}}}$恒成立，
又$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{xy}}}≥\sqrt{2}$，從而$0＜|a|≤\sqrt{2}$．
（文）f（x-3）≥0?0＜|x-3|≤1?2≤x＜3或3＜x≤4．

點評 本題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考查合適的形式，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查恒成立問題，關(guān)鍵是分離參數(shù)，利用最值法求解．