Question

7．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x₁、x₂∈D，當(dāng)x₁+x₂=2a時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x+sinπx-3的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{4030}{2016}}）+f（{\frac{4031}{2016}}）$的值為（　�。�

• A． -4031
• B． 4031
• C． -8062
• D． 8062

Answer 1

分析 利用函數(shù)對(duì)稱中心的性質(zhì)得到當(dāng)x₁+x₂=2時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=-4，能此能求出結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=x+sinπx-3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1+sinπ-3=-2，
∴根據(jù)對(duì)稱中心的定義，可得當(dāng)x₁+x₂=2時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=-4，
∴$f（{\frac{1}{2016}}）+f（{\frac{2}{2016}}）+f（{\frac{3}{2016}}）+…+f（{\frac{4030}{2016}}）+f（{\frac{4031}{2016}}）$
=2015[f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{4031}{2016}$）]+f（$\frac{2016}{2016}$）
=2015×（-4）-2
=-8062．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．