Question

2．如圖，正方形SG₁G₂G₃中，E，F(xiàn)分別是G₁G₂，G₂G₃的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G₁，G₂，G₃三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S-EFG中．
（1）求證：SG⊥平面EFG；
（2）請(qǐng)指出四面體S-EFG中有哪些平面互相垂直；
（3）若M，N分別是SF，GE的中點(diǎn)，求異面直線MN與SE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）折成四面體S-EFG后，SG⊥GE，SG⊥GF，由此能證明SG⊥平面EFG．
（2）面SGE⊥面GEF，面SGE⊥面GEF，面SGE⊥面SGF．
（3）取EF的中點(diǎn)A，連結(jié)AM，AN，則∠AMN為異面直線MN與SE所成的角，由此利用余弦定理能求出異面直線MN與SE所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵在折前正方形SG₁G₂G₃中，
SG₁⊥G₁E，SG₃⊥G₃F，
∴折成四面體S-EFG后，SG⊥GE，SG⊥GF，
又∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面EFG．
解：（2）∵SG⊥平面EFG，SG?平面SGE，SG?平面SGF，
∴面SGE⊥面GEF，面SGE⊥面GEF，
∵SG⊥GF，SG⊥GE，GF⊥GE，∴面SGE⊥面SGF．
（3）取EF的中點(diǎn)A，連結(jié)AM，AN，
∵M(jìn)是SF的中點(diǎn)，∴MA∥SE，
∴∠AMN為異面直線MN與SE所成的角，
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，
又MA=$\frac{1}{2}SE=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，AN=$\frac{1}{2}a$，
取GF中點(diǎn)B，在Rt△MBN中，MN=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
在△MNA中，cos∠AMN=$\frac{M{N}^{2}+M{A}^{2}-N{A}^{2}}{2MN•MA}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
∴異面直線MN與SE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查面面垂直的判斷，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．