Question

17．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
（1）求f（8）；
（2）求不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集；
（3）當(dāng)x∈[0，2]，a∈[-1，1]時(shí)f（x）≤m²-2am+1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知等式拆分8，結(jié)合f（2）=1可得答案；
（2）不等式f（x）-f（x-2）＞3化為f（x）＞f（x-2）+3，結(jié)合f（8）=3，轉(zhuǎn)化為f（x）＞f（8x-16），進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為不等式組求解；
（3）由函數(shù)單調(diào)性及f（2）=1得到x∈[0，2]時(shí)f（x）的最大值，把a(bǔ)∈[-1，1]時(shí)f（x）≤m²-2am+1恒成立化為a∈[-1，1]時(shí)，m²-2am+1≥1恒成立，看作關(guān)于a的一次函數(shù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為不等式組求解．

解答 解：（1）由題意得f（8）=f（4×2）
=f（4）+f（2）
=f（2×2）+f（2）
=f（2）+f（2）+f（2）
=3f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（8）=3；
（2）不等式f（x）-f（x-2）＞3化為f（x）＞f（x-2）+3
∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{8x-16＞0}\\{x＞8x-16}\end{array}\right.$，解得2＜x＜$\frac{16}{7}$．
∴不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集為{x|2＜x＜$\frac{16}{7}$}；
（3）∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（2）=1，
∴f（x）在x∈[0，2]上的最大值為1，
a∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤m²-2am+1恒成立，
即a∈[-1，1]時(shí)，m²-2am+1≥1恒成立．
∴m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$恒成立．
解得：m≤-2或m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，體現(xiàn)了“更換主元”思想在解題中的應(yīng)用，是中檔題．