Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當x≥0，f（x）-f（-x）≥0恒成立，求a的最大值；
（3）當a=1，解關(guān)于x的不等式：$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≤f（1）}\\{f（-x）≤f（1）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值知a=e，切點（0，1）處的切線方程由點斜式可以直接給出．
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，由不等式的性質(zhì)可得出a的范圍．
（3）由函數(shù)的對稱性得知兩個圖形重合時取之間值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-ax
∴f′（x）=e^x-a
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值
∴f′（1）=0
∴a=e
∴f′（x）=e^x-e
k=f′（0）=1-e
f（0）=1
∴函數(shù)y=f（x）在點（0，1）處的切線方程為y-1=（1-e）x．
（2）當x≥0，f（x）-f（-x）=e^x-e^-x-2ax≥0恒成立，
x=0時，0=0，上式成立．
x＞0時，原式等價于a≤$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2x}$恒成立．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2x}$，只需a≤g（x）的最小值即可．
∵g′（x）=$\frac{2x（{e}^{x}+{e}^{-x}）-2（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{（2x）^{2}}$
令φ（x）=x（e^x+e^-x）-e^x+e^-x
則φ′（x）=x（e^x-e^-x）
∵x≥0
∴φ′（x）≥0
∴φ（x）在x≥0是單調(diào)遞增的，φ（x）的最小值為φ（0）=0
∴g′（x）≥0在x＞0恒成立
∴g（x）在x＞0上單調(diào)遞增恒成立
g（x）的最小值大于0
∴a≤0
（3）∵f（x）與f（-x）關(guān)于y軸對稱．
f（-1）=e^-1+1=$\frac{1}{e}$+1＜e-1
且f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增
由對稱性知，-1≤x≤1

點評 本題考查函數(shù)的導函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)．而第三問比較巧妙的利用函數(shù)的對稱性．