4.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2,點(diǎn)E位PC的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)求E到平面PBD的距離.

分析 (Ⅰ)由已知推導(dǎo)出PD⊥底面ABCD,BC⊥BD,由此能證明BC⊥平面PBD.
(Ⅱ)由 BC⊥平面PBD,能求出E到平面PBD的距離.

解答 證明:(Ⅰ)∵側(cè)面PCD⊥底面ABCD于CD,PD?面PCD,PD⊥CD,
∴PD⊥底面ABCD,
∵BC?面ABCD,∴PD⊥BC
在Rt△ABD中,AB=AD=1,故$BD=\sqrt{2}$,
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,故$BC=\sqrt{2}$
由BC2+BD2=CD2,得BC⊥BD,
又∵PD⊥BC,PD∩DB=D,
∴BC⊥平面PBD.…(6分)
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC⊥平面PBD,
E為平面PBD的斜線段PC的中點(diǎn),
故E到平面PBD的距離$d=\frac{1}{2}|BC|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊系列答案
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A.4B.5C.6D.7

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