Question

4．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，點(diǎn)E位PC的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求E到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出PD⊥底面ABCD，BC⊥BD，由此能證明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由 BC⊥平面PBD，能求出E到平面PBD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵側(cè)面PCD⊥底面ABCD于CD，PD?面PCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，
∵BC?面ABCD，∴PD⊥BC
在Rt△ABD中，AB=AD=1，故$BD=\sqrt{2}$，
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，故$BC=\sqrt{2}$
由BC²+BD²=CD²，得BC⊥BD，
又∵PD⊥BC，PD∩DB=D，
∴BC⊥平面PBD．…（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC⊥平面PBD，
E為平面PBD的斜線段PC的中點(diǎn)，
故E到平面PBD的距離$d=\frac{1}{2}|BC|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．