Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足如下條件：①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②對(duì)任意x∈R，f（2+x）-f（2-x）=0；③當(dāng)x∈[0，2]時(shí)．f（x）=x；④函數(shù)f_（n）（x）=f（2^n-1•x），n∈N^*，若過點(diǎn)（-1，0）的直線l與函數(shù)f_（4）（x）的圖象在[0，2]上恰有8個(gè)交點(diǎn)．則直線1斜率k的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{8}{11}$）
• B． （0，$\frac{11}{8}$）
• C． （0，$\frac{8}{19}$）
• D． （0，$\frac{19}{8}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別判斷函數(shù)的周期性，奇偶性以及函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，利用函數(shù)與圖象之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
由f（2+x）-f（2-x）=0得f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
若x∈[-2，0]，則x∈[0，2]，
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x，
∴當(dāng)-x∈[0，2]時(shí)，f（-x）=-x，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x=f（x），
即f（x）=-x，x∈[-2，0]，
則函數(shù)f（x）在一個(gè)周期[-2，2]上的表達(dá)式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}&{0≤x≤2}\\{-x}&{-2≤x＜0}\end{array}\right.$，
∵f_（n）（x）=f（2^n-1•x），n∈N^*，
∴數(shù)f_（4）（x）=f（2³•x）=f（8x），n∈N^*，
故f_（4）（x）的周期為$\frac{1}{2}$，其圖象可由f（x）的圖象壓縮為原來的$\frac{1}{8}$得到，
作出f_（4）（x）的圖象如圖：
易知過M（-1，0）的斜率存在，
設(shè)過點(diǎn)（-1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)h（x）=k（x+1），
則要使f_（4）（x）的圖象在[0，2]上恰有8個(gè)交點(diǎn)，
則0＜k＜k_MA，
∵A（$\frac{7}{4}$，0），
∴k_MA=$\frac{2-0}{\frac{7}{4}+1}$=$\frac{8}{11}$，
故0＜k＜$\frac{8}{11}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．