Question

7．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，各棱長(zhǎng)為1，O是底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．
（1）求棱錐B₁-A₁BC₁的體積；
（2）求證：D₁O∥面A₁BC₁．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)換底面求三棱錐B₁-A₁BC₁的體積．
（2）取A₁C₁的中點(diǎn)E，連接NE，BE，證明NEBM是平行四邊形，可得MN∥BE，即可證明MN∥平面A₁BC₁；

解答 解：（1）解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，各棱長(zhǎng)為1
三棱錐B₁-A₁BC₁的體積=三棱錐B-A₁B₁C₁的體積=$\frac{1}{3}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）證明：取A₁C₁的中點(diǎn)M，連接BM，則
∵M(jìn)，O分別為B₁D₁，BD的中點(diǎn)，
∴BO平行且等于MD₁，
∴BOD₁M是平行四邊形，
∴MB∥OD₁，
∵M(jìn)B?平面A₁BC₁，MB?平面A₁BC₁，
∴OD₁∥平面A₁BC₁；

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查三棱錐B₁-A₁BC₁的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．