Question

9．點E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB和CD上的點且AB=2AE，CD=4FD，點P為線段EF上的動點$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$表示出$\overrightarrow{AP}$，利用三點共線原理得出x，y的關(guān)系，使用基本不等式得出最小值．

解答 解：∵AB=2AE，CD=4FD，∴$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AF}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=2x$\overrightarrow{AE}$+y（$\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$）=（2x-$\frac{y}{2}$）$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$．
∵E，F(xiàn)，P三點共線，∴2x-$\frac{y}{2}$+y=1，即2x+$\frac{y}{2}$=1．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2x+\frac{y}{2}}{x}$+$\frac{2x+\frac{y}{2}}{y}$=$\frac{y}{2x}$+$\frac{2x}{y}$+$\frac{5}{2}$≥2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．