Question

19．（1）已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為$\frac{17}{4}$，求p與m的值；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，又知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（4，2），求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為$\frac{17}{4}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4+\frac{p}{2}=\frac{17}{4}}\\{{m}^{2}=2p×4}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px或x²=2py（p＞0）．把點(diǎn)（4，2）代入解出即可．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為$\frac{17}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+\frac{p}{2}=\frac{17}{4}}\\{{m}^{2}=2p×4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{2}}\\{m=±2}\end{array}\right.$，
∴p=$\frac{1}{2}$，m=±2．
（2）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px或x²=2py（p＞0）．
當(dāng)y²=2px時，可得2²=2p×4，解得2p=1，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=x；
當(dāng)x²=2py時，可得4²=2p×2，解得2p=8，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=8y．
綜上可得：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=8y或y²=x．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、焦點(diǎn)弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．