Question

20．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，通項(xiàng)a_n=2p+nq（n∈N⁺，p、q為常數(shù)）且a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列．
（1）求p、q的值；
（2）數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，通項(xiàng)a_n=2p+nq（n∈N⁺，p、q為常數(shù)），可得2p+q=3，a₄=2p+4q，a₅=2p+5q．利用a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列，可得2a₄=a₁+a₅，即可解出p，q．
（2）利用（1）可得a_n=3，即可得出S_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，通項(xiàng)a_n=2p+nq（n∈N⁺，p、q為常數(shù)），
∴2p+q=3，a₄=2p+4q，a₅=2p+5q．
∵a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列，
∴2a₄=a₁+a₅，
∴2（2p+4q）=3+2p+5q，化為2p+3q=3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=3}\\{2p+3q=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{3}{2}}\\{q=0}\end{array}\right.$．
∴p=$\frac{3}{2}$，q=0．
（2）由（1）可得：a_n=3．
∴S_n=3n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．