Question

16．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，則AC₁與BD所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點O，則O是AC的中點，取CC₁的中點O，連結(jié)OP，由三角形中位線定理得OP∥AC₁，從而∠BOP是AC₁與BD所成角（或所成角的補角），由此利用余弦能求出AC₁與BD所成角的余弦值．

解答 解：連結(jié)AC、BD，交于點O，則O是AC的中點，取CC₁的中點O，連結(jié)OP，
由三角形中位線定理得OP∥AC₁，
∴∠BOP是AC₁與BD所成角（或所成角的補角），
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}\sqrt{16+9}$=$\frac{5}{2}$，PC=$\sqrt{6}$，OP=$\sqrt{6+\frac{25}{4}}$=$\frac{7}{2}$，
BP=$\sqrt{9+6}$=$\sqrt{15}$，
∴cos∠BOP=$\frac{O{B}^{2}+O{P}^{2}-B{P}^{2}}{2×OB×OP}$=$\frac{\frac{25}{4}+\frac{49}{4}-15}{2×\frac{5}{2}×\frac{7}{2}}$=$\frac{1}{5}$．
∴AC₁與BD所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．